Question

【題目】設拋物線，點， ，過點的直線與交于， 兩點．

（1）當與軸垂直時，求直線的方程；

（2）證明： ．

Answer 1

【答案】(1) y=或．

(2)見解析.

【解析】分析：(1)首先根據與軸垂直，且過點，求得直線l的方程為x=1，代入拋物線方程求得點M的坐標為或，利用兩點式求得直線的方程；

(2)分直線l與x軸垂直、l與x軸不垂直兩種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關系來體現，從而證得結果.

詳解：（1）當l與x軸垂直時，l的方程為x=2，可得M的坐標為（2，2）或（2，–2）．

所以直線BM的方程為y=或．

（2）當l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN．

當l與x軸不垂直時，設l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2），則x1>0，x2>0．

由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．

直線BM，BN的斜率之和為

．①

將， 及y1+y2，y1y2的表達式代入①式分子，可得

．

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補，所以∠ABM=∠ABN．

綜上，∠ABM=∠ABN．