Question

（理科做）如圖所示已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面ABCD且PA=1．建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，利用空間向量求解下列問(wèn)題：
（1）求點(diǎn)P、B、D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD；
（3）當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)Q點(diǎn)，使得時(shí)PQ⊥QD，求二面角Q-PD-A的余弦值．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥平面ABCD且ABCD為矩形，∴分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz
∵AP=AB=1，BC=2∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）
（2）設(shè)Q（1，y，0），則∵PQ⊥QD∴∴1+y（y-a）+0=0即y²-ay+1=0 （*）
∵Q在邊BC上，
∴a＞0且△=a²-4≥0
∴a≥2，即a的取值范圍是[2，+∞）
（3）當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)Q點(diǎn)，方程（*）有等根，
∴y=1，此時(shí)a=2
顯然平面PAD的一個(gè)法向量為=（1，0，0）
設(shè)平面PQD的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則且
由（2）知，∴，
不妨取x=1，則y=1，z=2，
∴=（1，1，2）
由圖可知，二面角Q-PD-A為銳角，設(shè)為α，即二面角Q-PD-A即的余弦值為
分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)轭}目中有矩形ABCD，以及和這個(gè)矩形面垂直的直線，所以x，y，z軸很容易找到，再在所建坐標(biāo)系中求出點(diǎn)P、B、D的坐標(biāo)即可．
（2）要想使得PQ⊥QD，則只需，可先求向量的坐標(biāo)，再計(jì)算，看結(jié)果是否為0即可．
（3）要求二面角Q-PD-A的余弦值，只需求兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值即可，可先分別求兩個(gè)平面的法向量，再利用向量夾角公式求余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，屬于空間向量的應(yīng)用．