Question

已知點的序列A_n(x_n，0),n∈N,其中x₁=0,x₂=a(a＞0),A₃是線段A₁A₂的中點，A₄是線段A₂A₃的中點，…，A_n是線段A_n－2A_n－1的中點，….
(1)寫出x_n與x_n－1、x_n－2之間關系式(n≥3);
(2)設a_n=x_n+1－x_n，計算a₁,a₂,a₃，由此推測數列{a_n}的通項公式，并加以證明；
(3)求x_n

Answer 1

(1) x_n=; (2) a_n=(－)^n-1a(n∈N) ，(3)a

 (1)當n≥3時，x_n=;

由此推測a_n=(－)^n-1a(n∈N)
證法一:因為a₁=a＞0,且
 (n≥2)
所以a_n=(－)^n-1a 
證法二: 用數學歸納法證明:
(ⅰ)當n=1時，a₁=x₂－x₁=a=(－)⁰a,公式成立；
(ⅱ)假設當n=k時，公式成立，即a_k=(－)^k－1a成立.
那么當n=k+1時，
a_k+1=x_k+2－x_k+1=

據(ⅰ)(ⅱ)可知，對任意n∈N，公式a_n=(－)^n-1a成立.
(3)當n≥3時，有
x_n=(x_n－x_n－1)+(x_n－1－x_n－2)+…+(x₂－x₁)+x₁=a_n－1+a_n－2+…+a₁,
由(2)知{a_n}是公比為－的等比數列，所以a.