Question

（本小題滿分12分）
已知拋物線：經過橢圓：的兩個焦點.設，又為與不在軸上的兩個交點，若的重心(中線的交點)在拋物線上，

(1)求和的方程.
（2）有哪幾條直線與和都相切？（求出公切線方程）

Answer 1

(1) 拋物線的方程為：， 橢圓的方程為：
(2) 有3條直線與和都相切.

試題分析：.解：（1）因為拋物線經過橢圓的兩個焦點，       
所以，即，由 ,             
橢圓的方程為： ,聯立拋物線的方程         
得：， 解得：或（舍去），所以 ，
即，所以的重心坐標為.        
因為重心在上，所以，得.所以.              
所以拋物線的方程為：， 橢圓的方程為：.      
(2)因拋物線：開口向下且關于y軸對稱，所以與x軸垂直的直線都不是其切線。
所以可設直線y=kx+m與和都相切,                            
則由有相等實根                    
                     
  
有3條直線與和都相切.
點評：解決的關鍵是利用方程的性質得到a,bc的值，同時利用線圓相切的關系來分析結論，屬于基礎題。