Question

【題目】如圖，由半圓x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分拋物線y=a（x2﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲線C稱為“羽毛球形線”，曲線C與x軸有A、B兩個焦點，且經過點（2.3）．
（1）求a、r的值；
（2）設N（0，2），M為曲線C上的動點，求|MN|的最小值；
（3）過A且斜率為k的直線l與“羽毛球形線”相交于P，A，Q三點，問是否存在實數k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將（2，3）代入y=a（x2﹣1），解得：a=1，由y=x2﹣1與x軸交于（±1，0），

則A（1，0），B（﹣1，0），

代入圓x2+y2=r2，解得：r=±1，由r＞0，則r=1，

∴a的值為1，r的值為1

（2）解：設M（x0，y0），則丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2，

當y0≤0，x02=1﹣y02，丨MN丨2=5﹣4y0，

∴當y0=0時，丨MN丨min= ，

當y≥0時，x02=1+y0，丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2=1+y0+（y0﹣2）2=y02﹣3y0+5=（y0﹣ ）2+ ，

當y0= 時，丨MN丨min=

（3）解：由題意可知：PQ的方程y=k（x﹣1）， ，整理得：x2﹣kx+k﹣1=0，

則x=1，y=k﹣1，則Q（k﹣1，k2﹣2k），

則 ，整理得：（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣1=0，

解得：x=1或x= ，

則P點坐標為（ ，﹣ ），

由∠QBA=∠PBA，

則kBP=﹣kBQ，即 =﹣ ，

即k2﹣2k﹣1=0，解得：k=1± （負值舍去），

因此存在實根k=1+ ，使得∠QBA=∠PBA

【解析】（1）由將點代入拋物線方程，即可求得a的值，求得A，B點坐標，代入圓方程，即可r的值；（2）根據兩點之間的距離公式，采用分類討論，根據二次函數的性質，即可求得|MN|的最小值；（3）將直線方程，代入拋物線及圓的方程求得Q及P點坐標，由kBP=﹣kBQ ， 即可求得k的值，因此存在實根k=1+ ，使得∠QBA=∠PBA．