Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若為的極值點，求實數的值；

（Ⅱ）若在上為增函數，求實數的取值范圍；

（III）當時，方程有實根，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

試題分析：（I）借助題設條件運用極值的定義建立方程求解；（II）借助題設運用分類整合的數學思想分析推證；（III）依據題設構造函數運用導數的知識探求.

試題解析：

（I）

因為為的極值點，所以，即，解得。

（II）因為函數在上為增函數，所以

在上恒成立。

當時，在上恒成立，所以在上為增函數，故 符合題意。

當時，由函數的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，所以在上恒成立。

令函數，其對稱軸為，因為，所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以。因為，所以。

綜上所述，a的取值范圍為。

（Ⅲ）當時，方程可化為。

問題轉化為在上有解，即求函數的值域。

因為函數，令函數，

則，

所以當時，，從而函數在上為增函數，

當時，，從而函數在上為減函數，

因此。

而，所以，因此當時，b取得最大值0.