Question

【題目】已知函數f（x）=lnx．
（1）求函數f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（2）若函數y=f（x）+ 在[ ，+∞）上有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍；
（3）是否存在實數k，使得對任意的x∈（ ，+∞），都有函數y=f（x）+ 的圖象在g（x）= 的圖象的下方；若存在，請求出最大整數k的值，若不存在，請說明理由（參考數據：ln2=0.6931， =1.6487）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的定義域為（0，+∞），

則f′（x）= ，則f′（1）=1，且f（1）=ln1=0，

即切點坐標為（1，0），

則函數f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1

（2）解：y=f（x）+ =lnx+ ，

若函數y=f（x）+ 在[ ，+∞）上有兩個不同的零點，

則函數y=f（x）+ =0，即lnx+ =0在[ ，+∞）上有兩個不同的根，

即 =﹣lnx，則k=﹣xlnx，

設y=g（x）=﹣xlnx，

則g′（x）=﹣（lnx+x ）=﹣1﹣lnx，

由g′（x）＜0得﹣1﹣lnx＜0得lnx＞﹣1，

即x＞ ，此時函數g（x）單調遞減，

由g′（x）＞0得﹣1﹣lnx＞0得lnx＜﹣1，

即 ≤x＜ ，此時函數g（x）單調遞增，即當x= 時，函數取得極大值為g（ ）=﹣ ln = ，

當x= 時，g（ ）=﹣ ln = ，

作出g（x）的對應圖象，若y=k與g（x）有兩個不同的交點，

則 ≤k＜

（3）解：若對任意的x∈（ ，+∞），都有函數y=f（x）+ 的圖象在g（x）= 的圖象的下方，

即對任意的x∈（ ，+∞），f（x）+ ﹣ ＜0恒成立，

即lnx+ ﹣ ＜0恒成立，

即 ＜ ﹣lnx，

則k＜ex﹣xlnx，

設h（x）=ex﹣xlnx，則h′（x）=ex﹣1﹣lnx，

h′′（x）=ex﹣ ，

設h′′（x）=ex﹣ 的零點為x0，

則當 ＜x＜x0時，h′′（x）＜0時，函數為減函數，

當x＞x0時，h′′（x）＞0，即h′（x）為增函數，

即當x=x0時函數h′（x）取得極小值同時也是最小值，

h′（x）最小為h′（x0）= ﹣1﹣lnx0＞ ﹣1﹣ln = ﹣1+ln2=0.6931+1.6487﹣1＞0，

即h′（x）＞0此時函數h（x）在（ ，+∞）上為增函數，

則h（x）＞h（ ）= ﹣ ln = + ln2=1.648+ 0.6931=1.648+0.39655=2.04455．

即k＜2.04455．

∴最大的整數k=2．

【解析】（1）求函數的導數，利用導數的幾何意義進行求解．（2）利用參數分離法轉化為兩個函數有兩個不同的交點即可．（3）y=f（x）+ 的圖象在g（x）= 的圖象的下方，等價為對任意的x∈（ ，+∞），f（x）+ ﹣ ＜0恒成立，利用參數分離法，結合函數的單調性和導數之間的關系進行期間即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．