Question

【題目】已知數列{an}滿足 ，記數列{an}的前n項和為Sn ， cn=Sn﹣2n+2ln（n+1）
（1）令 ，證明：對任意正整數n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|
（2）證明數列{cn}是遞減數列．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ ， ，

∴bn+1= = = =1+ =1+bn，

∴bn+1﹣bn=1，∴數列{bn}是等差數列，首項b1= =1，公差為1．

∴bn=1+（n﹣1）=n．

對任意正整數n，要證明|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|，只要證明：|sinnθ|≤n|sinθ|，（*）．

下面利用數學歸納法證明：

①當n=1時，（*）成立．

②假設n=k時，（*）成立，即|sinkθ|≤k|sinθ|，

則當n=k+1時，|sin（k+1）θ|=|sinkθcosθ+coskθsinθ|≤|sinkθ||cosθ|+|coskθ||sinθ|≤|sinkθ|+|sinθ|≤（k+1）|sinθ|，

即n=k+1時，（*）成立．

由①②可知：對任意正整數n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|

（2）證明：由（1）可得： ，解得an=2﹣ ．

cn=Sn﹣2n+2ln（n+1），當n≥2時，cn﹣1=Sn﹣1﹣2（n﹣1）+2lnn，

∴cn﹣cn﹣1=an﹣2+2ln =﹣ +2ln =2（ln ﹣ ）．（n≥2）．

令1+ =x， ．記f（x）=lnx﹣（x﹣1），

f′（x）= ﹣1= ＜0，∴f（x）在 上單調遞減，

∴f（x）＜f（1）=0，∴ln ﹣ ＜0．

∴cn﹣cn﹣1＜0，即cn＜cn﹣1，

∴數列{cn}是遞減數列．

【解析】（1）由于 ， ，可得bn+1= =1+bn ， 利用等差數列的通項公式可得bn=n．對任意正整數n，要證明|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|，只要證明：|sinnθ|≤n|sinθ|，利用數學歸納法證明即可．（2）由（1）可得： ，解得an=2﹣ ．cn=Sn﹣2n+2ln（n+1），當n≥2時，可得cn﹣cn﹣1=2（ln ﹣ ）．（n≥2）．令1+ =x， ．記f（x）=lnx﹣（x﹣1），利用導數研究其單調性即可得出．
【考點精析】利用數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．