Question

【題目】已知函數圖象上點處的切線方程與直線平行（其中），.

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）求函數在（）上的最小值；

（Ⅲ）對一切， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（I）根據切線方程與直線平行得到切線的斜率為2，即可得到，求出函數的導函數把代入即可求出的值得到函數的解析式；（II）令求出的值為，由函數定義域，所以在和上討論函數的增減性，分兩種情況：當屬于得到函數的最小值為；當時，根據函數為單調增得到函數的最小值為，求出值即可；（III）把的解析式代入不等式中解出，然后令，求出時的值，然后在定義域上分區間討論函數的增減性，求出的最大值， 要大于等于的最大值即為不等數恒成立，即可求出的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由點處的切線方程為直線平行，

得該切線斜率為2，即.

又，令， ，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，顯然時， ，當時， ，

所以函數在上單調遞減.當時， ，

所以函數在上單調遞增.

①時， ；

②時，函數在上單調遞增，

因此 ；

所以

（Ⅲ）對一切， 恒成立，

又， ，

即.

設， .

則 ，

由得或， ， ， 單調遞增，

， ， 單調遞減， ， ， 單調遞增，

，且 ，

所以.

因為對一切， 恒成立，

.

故實數的取值范圍為.