Question

已知a＞0，設命題p：函數y=(

1

a

)x為增函數．命題q：當x∈[

1

2

，2]時函數f(x)=x+

1

x

＞

1

a

恒成立．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q成立的等價條件，利用p∨q為真命題，p∧q為假命題，確定實數a的取值范圍．

解答：解：由y=（

1

a

）^x為增函數得，0＜a＜1，即p：0＜a＜1．
∵f（x）在[

1

2

，1]上為減函數，在[1，2]上為增函數．
∴f（x）在x∈[

1

2

，2]上最小值為f（1）=2．
當x∈[

1

2

，2]時，由函數f（x）=x+

1

x

＞

1

a

恒成立得，2＞

1

a

，解得a＞

1

2

，
即q：a＞

1

2

．
若“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，
則p，q一真一假．
如果p真且q假，則0＜a≤

1

2

．
如果p假且 q真，則a≥1．
∴a的取值范圍為（0，

1

2

]∪[1，+∞）．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用條件先求出命題p，q的等價條件是解決本題的關鍵．