Question

已知a＞0，設命題p：函數y=a^x在R上單調遞減，q：不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，若p和q中有且只有一個命題為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先通過指數函數的單調性求出p為真命題的a的范圍，再通過構造函數求絕對值函數的最值進一步求出命題q為真命題的a的范圍，分p真q假與p假q真兩類求出a的范圍即可．

解答：解  由函數y=a^x在R上單調遞減知0＜a＜1，
所以命題p為真命題時a的取值范圍是0＜a＜1，
令y=x+|x-2a|，
則y=

2x-2a       (x≥2a) 2a              (x＜2a).

不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，
只要y_min＞1即可，
而函數y在R上的最小值為2a，
所以2a＞1，
即a＞

1

2

．
即q真?a＞

1

2

．
若p真q假，則0＜a≤

1

2

；
若p假q真，則a≥1，
所以命題p和q有且只有一個命題正確時a的取值范圍是0＜a≤

1

2

或a≥1．

點評：解決復合命題的真假問題一般通過真值表將復合命題的真假問題轉化為構成它的簡單命題的真假來解決．