Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2a|+|x+ |
（1）當a=1時，求不等式f（x）＞4的解集；
（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2 對任意實數x及a恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，不等式f（x）＞4為|x﹣2|+|x+1|＞4．

x＜﹣1時，不等式可化為﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣ ，∴x＜﹣ ；

﹣1≤x≤2時，不等式可化為﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立；

x＞2時，不等式可化為（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞ ，∴x＞ ；

綜上所述，不等式的解集為{x|x＜﹣ 或x＞ }

（2）解：f（x）=|x﹣2a|+|x+ |≥|2a+ |=|2a|+| | ，

不等式f（x）≥m2﹣m+2 對任意實數x及a恒成立，∴2 m2﹣m+2 ，

∴0≤m≤1．

【解析】（1）當a=1時，分類討論，求不等式f（x）＞4的解集；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+ |≥|2a+ |=|2a|+| | ，利用不等式f（x）≥m2﹣m+2 對任意實數x及a恒成立，求實數m的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號即可以解答此題．