【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺銹最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方向構成，小正方形數越多刺銹越漂亮，向按同樣的規律刺銹（小正方形的擺放規律相同），設第
個圖形包含
個小正方形
（1）求
的值
（2）求出
的表達式
（3）求證：當
時， 
【答案】（1）61（2）f（n）=2n2﹣2n+1；（3）見解析
【解析】試題分析：（1）根據列舉法找規律，得到
的值；（2）同樣根據列舉法找規律
，根據累加法得到
的表達式；（3）根據（2）的結果，代入可得
，利用累加法求和，再根據數列的單調性證明不等式.
試題解析：解：（1）f（1）=1，f（2）=1+4=5，
f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，
f（5）=1+4+8+12+16=41．f（6）=1+4+8+12+16+20=61；
（2）∵f（2）﹣f（1）=4=4×1，
f（3）﹣f（2）=8=4×2，
f（4）﹣f（3）=12=4×3，
f（5）﹣f（4）=16=4×4，
由上式規律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．
∴f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1），
f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4（n﹣2），
f（n﹣2）﹣f（n﹣3）=4（n﹣3），
…
f（2）﹣f（1）=4×1，
∴f（n）﹣f（1）=4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]
=2（n﹣1）n，
∴f（n）=2n2﹣2n+1；
（2）證明：當n≥2時，
=
=
（
﹣
），
∴
+
+
+…+
=1+
（1﹣+﹣
+…+
﹣
）
=1+（1﹣
）=
﹣
．
由于g（n）=﹣為遞增數列，
即有g（n）≥g（1）=1，
且g（n）＜，
則
+
+
+…+
＜
成立．
教學練新同步練習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：在數列
中，若
為常數）則稱為“等方差數列”，下列是對“等方差數列”的有關判斷（ ）
①若是“等方差數列”，在數列
是等差數列；
②
是“等方差數列”；
③若是“等方差數列”，則數列
為常）也是“等方差數列”；
④若既是“等方差數列”又是等差數列，則該數列是常數數列.
其中正確命題的個數為( )
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：
摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢．
（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？
（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】20名同學參加某次數學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中
的值；
（Ⅱ）分別求出成績落在
， 
中的學生人數；
（Ⅲ）從成績在
的學生中任選2人，求此2人的成績都在
中的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
的極坐標方程是
，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為
軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線
的參數方程是
（
為參數）．
（1）求曲線的直角坐標方程和直線的的普通方程；
（2）設點
，若直線與曲線交于
兩點，且
，求實數
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數y＝f(x)－log3|x|的零點個數是( )
A．多于4個 B．4個
C．3個 D．2個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
．
（1）當
時，
在
上恒成立，求實數
的取值范圍；
（2）當
時，若函數
在
上恰有兩個不同的零點，求實數
的取值范圍；
（3）是否存在常數
，使函數
和函數
在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出
的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數之比為
，且成績分布在
，分數在
以上（含）的同學獲獎. 按文理科用分層抽樣的方法抽取
人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）.
（1）求
的值，并計算所抽取樣本的平均值
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）填寫下面的
列聯表，能否有超過
的把握認為“獲獎與學生的文理科有關”？
文科生 | 理科生 | 合計 | |
獲獎 |
| ||
不獲獎 | |||
合計 |
|
附表及公式：
，其中
|
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝cos xsin 2x，下列結論中正確的是________(填入正確結論的序號).
①y＝f(x)的圖象關于點(2π，0)中心對稱；
②y＝f(x)的圖象關于直線x＝π對稱；
③f(x)的最大值為
；
④f(x)既是奇函數，又是周期函數.
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