Question

（理科學生做）α，β是關于x的方程x²+2x+p²+1=0（p＞0）的兩個虛根，若復平面上α，β，1對應點構成正三角形，那么實數p=

2 3

3

．

Answer 1

分析：由題意，可設α=m+ni，則由實系數一元二次方程虛根成對定理可得β=m-ni，且m與n為實數，n≠0．由根與系數的關系得到m，n的關系，上α，β，1對應點構成正三角形，求得到實數p的值．

解答：解：設α=m+ni，則由實系數一元二次方程虛根成對定理可得β=m-ni，且m與n為實數，n≠0．
由根與系數的關系可得α+β=2m=-2，α•β=m²+n²=p²+1．
∴m=-1，p²=n²．
∵復平面上α，β，1對應點構成正三角形，
∴tan

π

6

=

3

3

=

|n|

|m-1|

=

|n|

2

，
解得|n|=

2 3

3

，
∴實數p=

2 3

3

，
故答案為

2 3

3

．

點評：本題主要考查實系數一元二次方程虛根成對定理、根與系數的關系，得到tan

π

6

=

3

3

=

|n|

|m-1|

，是解題的關鍵，屬于基礎題．