Question

設數列{a_n}是以a為首項，t為公比的等比數列，令b_n=1+a₁+a₂+…+a_n，c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，n∈N
（1）試用a，t表示b_n和c_n
（2）若a＞0，t＞0且t≠1，試比較c_n與c_n+1（n∈N）的大小
（3）是否存在實數對（a，t），其中t≠1，使得{c_n}成等比數列，若存在，求出實數對（a，t）和{c_n}；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）注意到b_n=1+a₁+a₂+…+a_n除 首項，其余是數列{a_n} 各項，按照等比數列求和公式可表示出b_n，再去求c_n．注意對公比t是否為1進行討論．
（2）cn+1-cn=bn+1=1+

a

1-t

-

atn+1

1-t

=1+

a

1-t

(1-tn+1)，由此再判判斷．
（3）cn=2-

at

(1-t)2

+

1-t+a

1-t

n+

atn+1

1-t2

，若成等比數列，根據通項公式特點須

2- at (1-t)2 =0 1-t+a 1-t =0

研究方程組解得情況，做出判斷．

解答：解：（1）當t=1時，a_n=a₁=a，b_n=1+na，cn=2+

n(2+a+na)

2

當t≠1時，a_n=at^n-1，bn=1+

a(1-tn)

1-t

=1+

a

1-t

-

atn

1-t

∴cn=2+(1+

a

1-t

)n-

a

1-t

•

t(1-tn)

1-t

=2-

at

(1-t)2

+

1-t+a

1-t

n+

atn+1

(1-t)2

（2）cn+1-cn=bn+1=1+

a

1-t

-

atn+1

1-t

=1+

a

1-t

(1-tn+1)
當t＞1時，1-t＜0，1-tⁿ⁺¹＜0，而已知a＞0，∴

a

1-t

(1-tn+1)＞0∴c_n+1-c_n＞0
同理當0＜t＜1時，1-t＞0，1-tⁿ⁺¹＞0，而已知a＞0，∴

1

1-t

(1-tn+1)＞0∴c_n+1-c_n＞0
綜上所述c_n+1＞c_n
（3）若cn=2-

at

(1-t)2

+

1-t+a

1-t

n+

atn+1

1-t2

成等比數列，則令

2- at (1-t)2 =0，(1) 1-t+a 1-t =0，(2)

由（2），得a=t-1代入（1），得2+

t

1-t

=0∴t=2，a=1
此時c_n=2ⁿ⁺¹=4×2^n-1
所以存在實數對（a，t）為（1，2），使得{c_n}成為以4為首項，2為公比的等比數列．

點評：本題考查等差、等比數列求和，代數式大小比較，方程組求解問題，考查計算、轉化，分類討論等思想方法和能力．