Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間.

(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（1），的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. （2），證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，由題意可知為方程的根，求解值，即可.再令導(dǎo)數(shù)，，分別求解單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間，即可.

（2）函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則，即可. 變形整理為；若證明不等式，則需證明，由變形為，不妨設(shè)，即證，令，則，求函數(shù)的取值范圍，即可證明.

（1）

時(shí)，取得極值.

.

解得或

解得

的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）

存在兩個(gè)極值點(diǎn)

方程即在上有兩個(gè)不等實(shí)根.

，

.

所證不等式等價(jià)于

即

不妨設(shè)，即證

令，

，在上遞增.

成立.

成立.