Question

A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B正東6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P為敵炮陣地，某時刻A處發現敵炮陣地的某種信號，由于B、C兩地比A距P地遠，因此4 s后，B、C才同時發現這一信號，此信號的傳播速度為1 km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方位角．

Answer 1

分析：建立坐標系，因為|PB|=|PC|，所以點P在線段BC的垂直平分線上，寫出中垂線的方程，又|PB|-|PA|=4，故P在以A、B為焦點的雙曲線右支上，寫出雙曲線方程，將這2個方程聯立方程組，解出交點P的坐標，由PA斜率計算炮擊的方位角．

解答：解：如圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標系，則
B（-3，0）、A（3，0）、C（-5，2

3

）．
因為|PB|=|PC|，所以點P在線段BC的垂直平分線上．
因為k_BC=-

3

，BC中點D（-4，

3

），
所以直線PD的方程為y-

3

=

1

3

（x+4）．①
又|PB|-|PA|=4，故P在以A、B為焦點的雙曲線右支上．
設P（x，y），則雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1（x≥0）．②
聯立①②，得x=8，y=5

3

，
所以P（8，5

3

）．因此k_PA=

5 3

8-3

=

3

．
故炮擊的方位角為北偏東30°．

點評：本題考查雙曲線方程的應用．