Question

A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B的正東6千米處，C在B正北偏西30°，相距4千米，P為敵炮陣地，某時刻A處發現敵炮陣地的某種信號，由于B、C兩地比A距P地遠，因此4 s后，B、C才同時發現這一信號，此信號的傳播速度為1 km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方位角．

Answer 1

思路分析：點P到B、C距離相等，因此點P在線段BC的垂直平分線上．又|PB|-|PA|=4，因此P在以B、A為焦點的雙曲線的右支上．由交軌法可求點P的坐標，進而求炮擊的方位角．

解：如圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標系，則

B（-3,0）、A（3,0）、C（-5,）.

    因為|PB|=|PC|，所以點P在線段BC的垂直平分線上．

    因為k_BC=,BC中點D（-4，），

    所以直線PD：（x+4）                    ①

    又|PB|-|PA|=4,故P在以A、B為焦點的雙曲線右支上．

    設P（x,y），則雙曲線方程為=1（x≥0）          ②

    聯立①②式，得x=8,y=,所以P（8,）．因此k_PA=．

    故炮擊的方位角為北偏東30°.

方法歸納 空間物體的定位，一般先利用聲音傳播的時間差建立雙曲線方程，然后借助曲線的交軌來確定．這是解析幾何的一個重要應用．