Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點，且長軸長為4.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若是橢圓的左頂點，經過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，求與的面積之差的絕對值的最大值.（為坐標原點）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先由離心率的概念可得，然后由長軸長可得的值，進而可得出所求的結果；（Ⅱ）首先設的面積為，的面積為，并分兩類討論：直線斜率不存在和直線斜率存在，分別聯立直線與橢圓的方程并表達出，然后結合基本不等式求解其最大值即可得出所求的結果.

試題解析：（Ⅰ）由題意得，又，則，所以.

又，故橢圓的方程為.

（Ⅱ）設的面積為，的面積為.

當直線斜率不存在時，直線方程為，此時不妨設，，且，面積相等，.

當直線斜率存在時，設直線方程為，設，，

和橢圓方程聯立得，消掉得.

顯然，方程有根，且.

此時.

因為，所以上式（時等號成立）.

所以的最大值為.