Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓過點(diǎn)，直線交軸于，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)這兩條直線的斜率分別為，且，證明：直線過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn)，證明見解析.

【解析】

試題分析：對(duì)問題（1），根據(jù)題目條件并結(jié)合橢圓過點(diǎn)，即可得到的值，進(jìn)而可求得橢圓的方程；對(duì)問題（2），首先討論直線的斜率是否存在，分兩種情況分別證明，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可聯(lián)立直線與橢圓的方程并結(jié)合韋達(dá)定理，即可判斷出直線過定點(diǎn).

試題解析：（1）∵橢圓過點(diǎn)，∴①，

∵，∴，則，

∴，②

由①②得，

∴橢圓的方程為

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，由得，得

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，

，

得，

，

即，

由，

即，

故直線過定點(diǎn)．