Question

（2011•通州區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

1

2

，右焦點為F（1，0）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）求經(jīng)過點A（4，0）且與橢圓C相切的直線方程；
（III）設(shè)P為橢圓C上一動點，以PF為直徑的動圓內(nèi)切于一個定圓E．求定圓E的方程．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的離心率為e=

1

2

，右焦點為F（1，0），求出a，c，利用b²=a²-c²，可求b的值，從而可求橢圓C的方程；
（II）設(shè)出經(jīng)過點A（4，0）且與橢圓C相切的直線方程，代入橢圓方程，利用判別式為0，即可得到結(jié)論；
（III）利用橢圓的定義，可得以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切，從而可得結(jié)論．

解答：解：（I）∵橢圓的離心率為e=

1

2

，右焦點為F（1，0）．
∴

c

a

=

1

2

，c=1
∴a=2，b²=a²-c²=3
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）設(shè)經(jīng)過點A（4，0）且與橢圓C相切的直線方程為y=k（x-4）
代入橢圓方程可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
∴△=（32k²）-4（3+4k²）（64k²-12）=0
∴k2=

1

4

∴k=±

1

2

∴所求直線方程為y=±

1

2

（x-4）；
（III）利用橢圓的定義，可得以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切
設(shè)PF的中點為C，則OC=

4-PF

2

=2-

PF

2

∴以PF為直徑的動圓內(nèi)切于一個定圓E，圓心為（0，0），半徑為半長軸長
∴定圓E的方程的方程為x²+y²=4．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．