Question

【題目】已知橢圓C1： 的離心率為 ，焦距為 ，拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點F是橢圓C1的頂點． （Ⅰ）求C1與C2的標準方程；
（Ⅱ）C1上不同于F的兩點P，Q滿足 ，且直線PQ與C2相切，求△FPQ的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓C1的焦距為2c，依題意有 ， ， 解得 ，b=2，故橢圓C1的標準方程為 ．
又拋物線C2：x2=2py（p＞0）開口向上，故F是橢圓C1的上頂點，
∴F（0，2），∴p=4，
故拋物線C2的標準方程為x2=8y．…（5分）
（Ⅱ）由題意得直線PQ的斜率存在．設直線PQ的方程為y=kx+m，
設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則 ， ，
∴ ，
即 （*）
聯立 ，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．
依題意，x1 ， x2是方程（**）的兩根，△=144k2﹣12m2+48＞0，
∴ ， ，
將x1+x2和x1x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，
解得m=﹣1，（m=2不合題意，應舍去）．
聯立 ，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，
令△'=64k2﹣32=0，解得 ．
經檢驗， ，m=﹣1符合要求．
此時， ，
∴
【解析】（Ⅰ）設橢圓C1的焦距為2c，依題意有 ， ，由此能求出橢圓C1的標準方程；又拋物線C2：x2=2py（p＞0）開口向上，故F是橢圓C1的上頂點，由此能求出拋物線C2的標準方程．（Ⅱ）設直線PQ的方程為y=kx+m，設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則 ， ，聯立 ，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結合已知件能求出△FPQ的面積．