Question

【題目】已知橢圓： （）與軸交于， 兩點， 為橢圓的左焦點，且是邊長為2的等邊三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于， 兩點，點關于軸的對稱點為（與不重合），則直線與軸交于點，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由是邊長為2的等邊三角形，很容易得，從而得橢圓方程；

（Ⅱ）直線與橢圓相交問題，設交點為，則有，把直線方程與橢圓方程聯立方程組，消元后可得，寫出直線方程，求出點坐標為，又直線過定點，因此，可用表示出來，可設換元后求得其取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）依題意可得，且，

解得， .

所以橢圓的方程是.

（Ⅱ）由消，得.

設， ，則.

且， .

經過點， 的直線方程為.

令，則 .

又， ，

故當時，

.

所以

直線過定點

令，則

在上單調遞減

.