Question

對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x₀）的“滯點”，已知函數f（x）=

x2

2x-2

．
（1）試問C_f（x）有無“滯點”？若有，求之，否則說明理由；
（2）已知數列{a_n}的各項均為負數，且滿足4S_n•f（

1

an

）=1，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=x，得一方程，看該方程是否有解即可，注意檢驗；
（2）由題意得4S_n•（

1

an

）²=2（

1

an

-1），所以2S_n=a_n-a_n²，故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²，兩式作差可得遞推式，由遞推式及已知條件可判斷該數列為等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）由f（x）=x得

x2

2x-2

=x，即x²-2x=0（x≠1），
解得x=0，或x=2，
∴函數f（x）=

x2

2x-2

有兩個滯點0和2．
（2）由已知4S_n•f（

1

an

）=1，得4S_n•（

1

an

）²=2（

1

an

-1），
∴2S_n=a_n-a_n²①，
故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²②，
由②-①得2a_n+1=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0，
∵a_n＜0，
∴a_n+1-a_n=-1，即{a_n}是等差數列，且d=-1，
當n=1時，由2S₁=a₁-a₁²=2a₁得a₁=-1，
∴a_n=-n．

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，解題時要認真審題，正確理解題意是解決問題的關鍵．