Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且對任意a、b∈[-1，1]，當a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，比較f（a）與f（b）的大小；
（2）解不等式f（x-

1

2

）＜f（x-

1

4

）；
（3）記P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c²）}，且P∩Q=∅，求c的取值范圍．

Answer 1

設-1≤x₁＜x₂≤1，則x₁-x₂≠0，
∴

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0．
∵x₁-x₂＜0，∴f（x₁）+f（-x₂）＜0．
∴f（x₁）＜-f（-x₂）．
又f（x）是奇函數，∴f（-x₂）=-f（x₂）．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是增函數．
（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）．
（2）由f（x-

1

2

）＜f（x-

1

4

），得

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜x- 1 4

∴-

1

2

≤x≤

5

4

．
∴不等式的解集為{x|-

1

2

≤x≤

5

4

}．
（3）由-1≤x-c≤1，得-1+c≤x≤1+c，
∴P={x|-1+c≤x≤1+c}．
由-1≤x-c²≤1，得-1+c²≤x≤1+c²，
∴Q={x|-1+c²≤x≤1+c²}．
∵P∩Q=∅，
∴1+c＜-1+c²或-1+c＞1+c²，
解得c＞2或c＜-1．