Question

【題目】直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E為BB1延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，D1E⊥面D1AC．設(shè)AB=2．

（1）求二面角E﹣AC﹣D1的大小；
（2）在D1E上是否存在一點(diǎn)P，使A1P∥面EAC？若存在，求D1P：PE的值；不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)AC與BD交于O，

如圖以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，為x軸，y軸，過(guò)O作面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，0，0），D（0，﹣1，0），D1（0，﹣1，2），

設(shè)E（0，1，2+h），

則 =（0，2，h）， =（2 ，0，0）， =（ ），

∵D1E⊥平面D1AC，∴D1E⊥AC，D1E⊥D1A，

∴2﹣2h=0，∴h=1，即E（0，1，3），

∴ =（0，2，1）， =（﹣ ，1，3），

設(shè)平面EAC的法向量為 =（x，y，z），

則由 ，令z=﹣1，得 =（0，3，﹣1），

∵D1E⊥面D1AC，∴平面D1AC的法向量為 =（0，2，1），

∴cos＜ ＞= = = ，

∴二面角E﹣AC﹣D1的大小為45°．

（2）解：設(shè) = =λ（ ），

得 = =（0， ， ），

∴ = + =（﹣ ，﹣1，0）+（0， ， ）=（﹣ ， ， ），

∵A1P∥面EAC，∴ ⊥ ，

∴﹣ =0，

解得 ，

∴存在點(diǎn)P使A1P∥面EAC，此時(shí)D1P：PE=2：3．

【解析】（1）設(shè)AC與BD交于O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，為x軸，y軸，過(guò)O作面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D1的大小．（2）設(shè) = =λ（ ），得 =（0， ， ）， =（﹣ ， ， ），由此能求出存在點(diǎn)P使A1P∥面EAC，此時(shí)D1P：PE=2：3．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．