Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，且過點 .
（1）求橢圓 的方程；
（2）設不過原點 的直線 與橢圓 交于 兩點，直線 的斜率分別為 ，滿足 ，試問：當 變化時， 是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結論；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意可得 解得 .
橢圓 的方程是
（2）解：當 變化時， 為定值，證明如下：
由 得， .
設 ， ，則 ， （*）
∵直線 的斜率依次為 ，且 ，
∴ ，得 ，
將（*）代入得： ，
經檢驗滿足
m 2 為定值
【解析】（1）由條件列出關于a,b,c的方程組求a,b,c得到橢圓方程;
（2）將直線方程代入橢圓方程消去y得到關于x的一元二次方程，用韋達定理表示出兩根和與兩根積，代入條件中求出m2為定值.