Question

已知函數f（x）=lnx，
（I）若a=-2時，函數h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）在（I）的結論下，設φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數φ（x）的最小值；
（Ⅲ）設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據a=-2時，函數h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數，知道h′（x）在其定義域內大于等于零，得到一個關于b的不等式，解此不等式即得b的取值范圍；
（II）先設t=e^x，將原函數化為關于t的二次函數，最后將原函數φ（x）的最小值問題轉化成二次函數在某區間上的最值問題即可；
（III）先假設存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行，利用導數的幾何意義求出切線的斜率進而得出切線的方程，后利用斜率相等求出R的橫坐標，如出現矛盾，則不存在；若不出現矛盾，則存在．
解答：解：（I）依題意：h（x）=lnx+x²-bx．
∵h（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴對x∈（0，+∞）恒成立，
∴，∵x＞0，則．
∴b的取值范圍是．
（II）設t=e^x，則函數化為y=t²+bt，t∈[1，2]．
∵．
∴當，即時，函數y在[1，2]上為增函數，
當t=1時，y_min=b+1；當1＜-＜2，即-4＜b＜-2時，當t=-時，；
，即b≤-4時，函數y在[1，2]上是減函數，
當t=2時，y_min=4+2b．
綜上所述：
（III）設點P、Q的坐標是（x₁，y₁），（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂．
則點M、N的橫坐標為．
C₁在點M處的切線斜率為．
C₂在點N處的切線斜率為．
假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂．
即．則
=，
∴設，則，（1）
令，則，
∵u＞1，∴r′（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上單調遞增，
故r（u）＞r（1）=0，則，與（1）矛盾！
點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值、利用導數研究函數的單調性、兩條直線平行的判定等基礎知識，屬于中檔題．