Question

【題目】已知函數f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）討論f（x）的單調性；
（3）證明：（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜ （n∈N* ， e為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∵x=0使f（x）的一個極值點，則f'（0）=0，

∴a=0，驗證知a=0符合條件

（2）解：∵

①若a=0時，∴f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（﹣∞，0）單調遞減；

②若 得，當a≤﹣1時，f'（x）≤0對x∈R恒成立，

∴f（x）在R上單調遞減．

③若﹣1＜a＜0時，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0

∴

再令f'（x）＜0，可得

∴ 上單調遞增，

在

綜上所述，若a≤﹣1時，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞減；

若﹣1＜a＜0時， 上單調遞增 上單調遞減；

若a=0時，f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（﹣∞，0）單調遞減

（3）解：由（2）知，當a=﹣1時，f（x）在（﹣∞，+∞）單調遞減

當x∈（0，+∞）時，由f（x）＜f（0）=0

∴ln（1+x2）＜x，∴ln[（1+ ）（1+ ）…（1+ ）]=ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）

＜ + +…+ = = （1﹣ ）＜ ，∴（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜ =

【解析】（1）求出f′（x），因為f（x）在x=0時取得極值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；（2）分三種情況：a=0；a≤﹣1；﹣1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函數的遞增區間；令f′（x）＜0得到函數的遞減區間即可；（3）由（2）知當a=﹣1時函數為減函數，所以得到ln（1+x2）＜x，利用這個結論根據對數的運算法則化簡不等式的左邊得證即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．