Question

【題目】已知橢圓的離心率e＝，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線過橢圓的左端點(diǎn)A，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B.，AB的垂直平分線交軸于點(diǎn)，且·＝4，求的值．

Answer 1

【答案】(1) (2)y0＝±2或y0＝±.

【解析】試題分析：1）由離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)c2=a2﹣b2求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)菱形的面積公式，求得a和b，則橢圓的方程可得．

（2）由（1）可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線l的斜率，表示出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，由韋達(dá)定理求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而利用直線方程求得其縱坐標(biāo)表達(dá)式，表示出|AB|進(jìn)而求得k，則直線的斜率可得．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)k=0時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，進(jìn)而根據(jù)，求得y0；當(dāng)k≠0時(shí)，可表示出線段AB的垂直平分線方程，令x=0得到y0的表達(dá)式根據(jù)，，求得y0．

試題解析：

(1)由e＝＝，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.

由題意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程組得a＝2，b＝1.

所以橢圓的方程為.

(2)由(1)可知A(－2,0)．設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，則直線的方程．于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

由方程組消去y并整理，得.

由，得.從而.

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為．

以下分兩種情況：

①當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是＝(－2，－y0)，

＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2.

②當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為．

令x＝0，解得，

由＝(－2，－y0)， ＝(x1，y1－y0)．

·＝－2x1－y0(y1－y0)

＝，

整理得7k2＝2，故k＝±.所以y0＝±.綜上，y0＝±2或y0＝±.