Question

【題目】設數列滿足，為的前項和.證明：對任意，

（1）當時，；

（2）當時，；

（3）當時，.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】試題解析：

(1)①當時，顯然成立；

②假設當，，

則當時，.

由①②，.

(2)從而，

即，

于是，即；

（3）當時，由（Ⅰ），，故.

令，由（1）（2），.

由，可得.

從而，

又，

故，即.

注意到，

故，

即，亦即.

所以當時，.

點睛:本題以數列的通項公式、前項和有關知識為背景，旨在考查與數列有關的不等式的推理論證能力、分析問題解答問題的能力。解答時，分別采用了分析法、綜合法、數學歸納法、放縮法等常用的數學思想方法進行分析推證。不等式的證明問題是高考和各級各類考試的難點內容和題型，求解時應具體問題具體分析靈活采用不同的方法進行綜合運用，以達證明之目的。如第一問用的數學歸納法，第二問則是采用的分析縮放的思想進行推證的，第三問則利用數列的遞推關系，巧妙地運用縮放的辦法進行推證的。