Question

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為1，P、Q分別是線段AD1和BD上的點，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，

（1）求線段PQ的長度；
（2）求證PQ⊥AD；
（3）求證：PQ∥平面CDD1C1 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：在AD上取點E，使得DE：EA=5：12，

∵D1P：PA=DQ：QB=5：12，

∴PE∥DD1，EQ∥AB，

∴PE⊥AD，EQ⊥AD

∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為1，

∴PE= ，EQ= ，

∴PQ= =

（2）證明：∵PE⊥AD，EQ⊥AD，PE∩EQ=E，

∴AD⊥平面PEQ，

∵PQ平面PEQ，

∴PQ⊥AD

（3）證明：∵PE∥DD1，PE平面CDD1C1，DD1平面CDD1C1，

∴PE∥平面CDD1C1，

同理EQ∥平面CDD1C1，

∵PE∩EQ=E，

∴平面PEQ∥平面CDD1C1，

∵PQ平面PEQ，

∴PQ∥平面CDD1C1．

【解析】（1）在AD上取點E，使得DE：EA=5：12，可得PE= ，ED= ，利用勾股定理，求出線段PQ的長度；（2）證明AD⊥平面PEQ，可得PQ⊥AD；（3）證明平面PEQ∥平面CDD1C1 ， 可得PQ∥平面CDD1C1 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解棱柱的結構特征的相關知識，掌握兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形，以及對空間中直線與直線之間的位置關系的理解，了解相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．