Question

【題目】如圖，已知橢圓 =1（a＞b＞0），F1、F2分別為橢 圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B、

（1）若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；
（2）若 =2 ， = ，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：若∠F1AB=90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有OA=OF2，即b=C、

所以a= c，e= = ．

（2）解：由題知A（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），

其中，c= ，設B（x，y）．

由 =2 （c，﹣b）=2（x﹣c，y），解得x= ，

y=﹣ ，即B（ ，﹣ ）．

將B點坐標代入 =1，得 + =1，

即 + =1，

解得a2=3c2．①

又由 =（﹣c，﹣b）（ ，﹣ ）=

b2﹣c2=1，

即有a2﹣2c2=1．②

由①，②解得c2=1，a2=3，從而有b2=2．

所以橢圓方程為 + =1．

【解析】（1）根據∠F1AB=90°推斷出△AOF2為等腰直角三角形，進而可知OA=OF2，求得b和c的關系，進而可求得a和c的關系，即橢圓的離心率．（2）根據題意可推斷出A，和兩個焦點的坐標，設出B的坐標，利用已知條件中向量的關系，求得x和y關于c的表達式，代入橢圓方程求得a和c的關系，利用 = 求得a和c的關系，最后聯立求得a和b，則橢圓方程可得．