Question

設數組A：{a₁，a₂，…，a_n}與數組B：{b₁，b₂，…，b_n}，A與B中的元素不完全相同，分別從A、B中的n個元素中任取m（m≤n）個元素作和，各得C_n^m個和．若由A得到的C_n^m個和與由B得到的C_n^m個和恰好完全相同，則稱數組A與B是n元中取m的全等和數組，簡記為DH_n^m數組．
（1）判斷數組A：{5，15，25，45}與B：{0，20，30，40}是否為DH₄²數組？
（2）若數組A：{a₁，a₂，…，a_n}與數組B：{b₁，b₂，…，b_n}是DH_n^m數組（m≤n），求證：數組A與B一定是DH_nⁿ數組
（3）給定數組A：{a₁，a₂，a₃，a₄}，其中a₁≤a₂≤a₃≤a₄，問是否存在數組B，使得數組A與B為DH₄²數組？若存在，則求出數組B；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在數組A：{5，15，25，45}中任取兩個數求和，可得20，30，40，50，60，70，同樣在B：{0，20，30，40}中任取兩個數求和，可得20，30，40，50，60，70，故A與B為DH₄²數組
（2）求證數組A與B一定是DH_nⁿ數組，即求證a₁+a₂+…a_n=b₁+b₂+…b_n，由數組A：{a₁，a₂，…，a_n}與數組B：{b₁，b₂，…，b_n}是DH_n^m數組，則由A得到的C_n^m個和與由B得到的C_n^m個和恰好完全相同，由此可證
（3）假設存在數組B：{b₁，b₂，b₃，b₄}（不妨設b₁≤b₂≤b₃≤b₄）與A是DH₄²數組，則有a₁+a₂=b₁+b₂、a₁+a₃=b₁+b₃、a₂+a₄=b₂+b₄、a₃+a₄=b₃+b₄不妨設b₁=a₁-q則b₂=a₂+q，b₃=a₃+q，b₄=a₄-q   故q=

1

2

(a1+a4-a2-a3)，若q=0，則存在唯一數組B，否則不存在

解答：解：（1）A中C₄²個和為：20，30，40，50，60，70B中C₄²個和為：20，30，40，50，60，70
∴A與B為DH₄²數組
（2）證明：從A中任取m個元素作和共得C_n^m個數，再將C_n^m個數作和記為S，
在C_n^m個數中a₁、a₂、…、a_n都分別出現了C_n-1^m-1次，故S=C_n-1^m-1（a₁+a₂+…a_n）
同樣從B中任取m個元素作和共得C_n^m個數，這些數的和為S'，S'=C_n-1^m-1（b₁+b₂+…b_n）
顯然S=S'∴a₁+a₂+…a_n=b₁+b₂+…b_n
即A與B為DH_nⁿ數組
（3）假設存在數組B：{b₁，b₂，b₃，b₄}（不妨設b₁≤b₂≤b₃≤b₄）與A是DH₄²數組，
則有a₁+a₂=b₁+b₂、a₁+a₃=b₁+b₃、a₂+a₄=b₂+b₄、a₃+a₄=b₃+b₄
不妨設b₁=a₁-q則b₂=a₂+q，b₃=a₃+q，b₄=a₄-q
從而a₂+a₃=b₁+b₄（不能等于b₂+b₃否則q=0與題意不符）
故q=

1

2

(a1+a4-a2-a3)
①a₁+a₄≠a₂+a₃，則一定存在唯一數組B：{a₁-q，a₂+q，a₃+q，a₄-q}
（其中q=

1

2

(a1+a4-a2-a3)）與A是DH₄²數組
②a₁+a₄=a₂+a₃，則不存在數組B與A是DH₄²數組．

點評：本題考查了排列與組合的應用，屬新定義型創新題，解答難度較大，解題時首先要理解題意，然后根據要求用分析法分析，綜合法寫出解題過程