Question

已知函數f（x）=2

3

sinωxcosωx+2cos²ωx，（其中0＜ω＜1），若點（-

π

6

，1）是函數f（x）圖象的一個對稱中心．
（Ⅰ）試求ω的值；
（Ⅱ）當x∈[-π，π]時，先列表再作出函數f（x）在區間上的圖象，并求出值域．

Answer 1

分析：將函數f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，
（Ⅰ）由點（-

π

6

，1）是函數f（x）圖象的一個對稱中心，根據正弦函數的對稱性，代入得到-

ωπ

3

+

π

6

=kπ，k∈Z，根據ω的范圍，即可求出ω的值；
（Ⅱ）由第一問確定的ω的值，得到函數f（x）的解析式，列表，描點，連線，作出函數圖象，由函數圖象即可得到f（x）在x∈[-π，π]時的值域．

解答：解：由題設得：f（x）=

3

sin2ωx+cos2ωx+1=2sin（2ωx+

π

6

）+1，
（Ⅰ）∵點（-

π

6

，1）是函數f（x）圖象的一個對稱中心，
∴-

ωπ

3

+

π

6

=kπ，k∈Z，
∴ω=-3k+

1

2

，
∵0＜ω＜1，
∴k=0，ω=

1

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，x∈[-π，π]，
列表如下：

x+ π 6	- 5π 6	- π 2	0	π 2	π	7π 6
x	-π	- 2π 3	- π 6	π 3	5π 6	π
y	0	-1	1	3	1	0

f（x）在x∈[-π，π]上的圖象如圖示：

由圖可知，函數在x∈[-π，π]上的值域是[-1，3]．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的對稱性，以及五點法作三角函數圖象，熟練掌握公式是解本題的關鍵．