Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上兩點P、Q在x軸上的射影分別為橢圓的左、右焦點，且P、Q兩點的連線的斜率為

2

2

．
（1）求橢圓的離心率e的大��；
（2）若以PQ為直徑的圓與直線x+y+6=0相切，求橢圓C的標準方程；
（3）設點M（0，3）在橢圓內部，若橢圓C上的點到點M的最遠距離不大于5

2

，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設出P、Q兩點的坐標，利用P、Q在x軸上的射影分別為橢圓的左、右焦點，且P、Q兩點的連線的斜率為

2

2

．即可求橢圓的離心率e的大�。�
（2）先求出以PQ為直徑的圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出b值即可求橢圓C的標準方程；
（3）先利用點M（0，3）在橢圓內部求出b的一個范圍，再利用兩點間的距離公式以及最遠距離不大于5

2

，求出b的另一個范圍，兩個相綜合可得橢圓C的短軸長的取值范圍．

解答：解：（1）設點（-c，-y₀），Q（c，y₀），其中y₀＞0，∵點P在橢圓C上，
∴

c2

a2

+

y02

b2

=1，y02=

b4

a2

，y0=±

b2

a

，
∴P(-c，-

b2

a

)，Q(c，

b2

a

)，∴kPQ=

2 b2 a

2c

=

b2

ac

．∴

b2

ac

=

2

2

，

2

(a2-c2)=ac，
從而

2

(1-e2)=e，解得e=

2

2

，e=-

2

（舍去）．
（2）由（1）知，a=

2

b，c=b，∴P(-b，-

b

2

)，
∴以PQ為直徑的圓的方程為x2+y2=

3

2

b2．
∵該圓與直線x+y+6=0相切，∴

6

2

=

6

2

b，即b=2

3

，∴b2=12，a2=24．
∴橢圓的標準方程為

x2

24

+

y2

12

=1．
（3）由（1）知，a=

2

b，c=b，故橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，∵點M(0，3)在橢圓內部，
∴b＞3．
設N（x，y）為橢圓上任意一點，則MN²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，其中-b≤y≤b．∵b＞3，
∴-b＜-3，∴當y=-3時，MN²取得最大值2b²+18．
依題意：MN≤5

2

，∴MN²≤50，∴2b²+18≤50，∴0＜b≤4，又b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8．
∴橢圓C的短軸長的取值范圍是（6，8]．

點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解，也可以把直線與圓的方程聯立讓對應方程的判別式為0求解．本題用的是方法一．