Question

（本小題滿分12分）
已知函數.
（1）設，討論的單調性；
（2）若對任意，，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）增區間為，減區間為.（2）.

試題分析：（1），定義域為，
，
設則，
上是減函數，又，
于是的增區間為，減區間為.
（2）由已知.
當時，，不合題意；
當時，，由，可得.
設.……8分
設，方程的判別式，
若在上是增函數，
又，
若，存在，使得，對任意，又不合題意.
綜上所述，實數的取值范圍是.
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（II）通過構造函數，并研究函數的單調性，函數值與最值比較，達到解題目的。分類討論，排除可能情況，值得關注。本題涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。