Question

【題目】若，則定義直線為曲線，的“分界直線”．已知，則的“分界直線”為____．

Answer 1

【答案】y=x-1

【解析】

求得f（x），g（x）的交點（1，0），可得所求直線過（1，0），即b＝﹣k，由kx﹣k（x）在x＞1恒成立，運用判別式小于等于0，化簡可得k＝1，可得直線方程為y＝x﹣1，再證x﹣1≤xlnx在x≥1恒成立，通過函數y＝xlnx﹣x+1，求得導數，判斷單調性，即可得到所求結論．

由f（1）＝ln1＝0，g（1）（1﹣1）＝0，

則f（x），g（x）的圖象存在交點（1，0），

且f（x），g（x）在[1，+∞）遞增，

可得直線y＝kx+b必過（1，0），即b＝﹣k，

由kx+b≥g（x），即kx﹣k（x）在x＞1恒成立，

即有（2k﹣1）x2﹣2kx+1≥0，

可得2k﹣1＞0，且△＝4k2﹣4（2k﹣1）≤0，

解得k＝1，

即有直線方程為y＝x﹣1，

下面證明x﹣1≤xlnx在x≥1恒成立，

由y＝xlnx﹣x+1的導數為y′＝1+lnx﹣1＝lnx，

由x≥1可得lnx≥0，即有函數y＝xlnx﹣x+1在x≥1遞增，

可得xlnx≥x﹣1在x≥1恒成立，

則f（x），g（x）的“分界直線”為y＝x﹣1．

故答案為：y＝x﹣1．