Question

（本題滿分14分）已知函數的圖象在點處的切線的斜率為，且在處取得極小值。
（1）求的解析式；
（2）已知函數定義域為實數集，若存在區間，使得在的值域也是，稱區間為函數的“保值區間”．
①當時，請寫出函數的一個“保值區間”（不必證明）；
②當時，問是否存在“保值區間”？若存在，寫出一個“保值區間”并給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，                        
∴                             ……  1 分
由                      …… 4 分
∴，      令，解得，
當變化時，,的變化情況如下表：

				1
		0		0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴當時，取得極小值。                                  
所以，。                                    ……  5 分
（２） ①                                       ……  7 分
②由（１）得，
假設當x>1時，存在“保值區間”:［m,n］(n>m>1)。
因為當x>1時，所以在區間是增函數，
依題意,
于是問題轉化為有兩個大于1的根。            …… 9 分
現在考察函數
則令
又∵
∴１<                                               
當變化時，,的變化情況如下表：

	(1,)
	－	0	＋
	單調遞減	極小值	單調遞增

 所以，在在(1,) 上單調遞減, 在上單調遞增。         …… 12 分
于是，,
又因為
所以，當時，的圖象與軸只有一個交點，               ……  13 分
即方程有且只有一個大于1的根，與假設矛盾。
故當x>1時，不存在“保值區間”。                         ……  14 分
（２）解法2：由（１）得，
② 假設當x>1時，存在“保值區間”:［m,n］(n>m>1)。
因為當x>1時，所以在區間是增函數，
依題意,
于是問題轉化為方程，即有兩個大于1的根。…… 9 分
考察函數=(),與函數().
當x>1時，，
所以
而函數在區間               …… 12 分
又因為  所以，
因此函數=()的圖象與函數()的圖象只有一個交點。
……  13分
即方程有且只有一大于1的根，與假設矛盾。
故當時，不存在“保值區間”         

略