Question

已知拋物線的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5.過A作AB垂直于軸，垂足為B，OB的中點為M.

（1）求拋物線方程；
（2）過M作，垂足為N，求點N的坐標；
（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當是軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系.

Answer 1

拋物線方程為y²= 4x.   時，直線AK與圓M相離；當m=1時，直線AK與圓M相切；
當時，直線AK與圓M相交.

（1）拋物線
∴拋物線方程為y²= 4x.
（2）∵點A的坐標是（4，4），由題意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），∴
則FA的方程為y=（x－1），MN的方程為
解方程組
（3）由題意得，圓M的圓心是點（0，2），半徑為2.
當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時，直線AK與圓M相離，
當m≠4時，直線AK的方程為 即為
圓心M（0，2）到直線AK的距離，令
時，直線AK與圓M相離；
當m=1時，直線AK與圓M相切；
當時，直線AK與圓M相交.