Question

如圖，已知拋物線C：y²=4x焦點為F，直線l經過點F且與拋物線C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若線段AB的中點在直線y=2上，求直線l的方程；
（Ⅱ）若|AB|=20，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）利用“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式即可得出；
（II）設直線l的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯立化為k²x²-（4+2k²）x+k²=0，得到根與系數的關系，利用弦長公式|AB|=x₁+x₂+p即可得到k．

解答：解：（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，2），則x0=

x1+x2

2

，2=

y1+y2

2

，kl=

y1-y2

x1-x2

．
由

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴4k_l=4，解得k_l=1．
由y²=4x得焦點F（1，0）．∴直線l的方程為：y=x-1．
（II）設直線l的方程為y=k（x-1），聯立

y=k(x-1) y2=4x

化為k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∴x1+x2=

4+2k2

k2

．
∵|AB|=x₁+x₂+p=

4+2k2

k2

+2=10，解得k=±

6

3

．
∴直線l的方程為y=±

6

3

(x-1)．

點評：本題考查了“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式|AB|=x₁+x₂+p等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．