Question

（2012•武昌區模擬）如圖，已知拋物線C：y²=4x，過點A（1，2）作拋物線C的弦AP，AQ．
（Ⅰ）若AP⊥AQ，證明直線PQ過定點，并求出定點的坐標；
（Ⅱ）假設直線PQ過點T（5，-2），請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的個數？如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設直線l的方程與拋物線方程聯立，利用AP⊥AQ，結合韋達定理，即可證明直線PQ過定點，并可求出定點的坐標；
（II）先求出PQ的中點坐標，再結合三角形APQ為等腰三角形求出關于m的等式，借助于函數的單調性求出m的取值個數即可得到結論．

解答：（Ⅰ）證明：設直線PQ的方程為x=my+n，點P、Q的坐標分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
直線方程代入拋物線方程，消x得y²-4my-4n=0．
由△＞0，得m²+n＞0，y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4n．
∵AP⊥AQ，∴

AP

•

AQ

=0，∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0．
∴（y₁-2）（y₂-2）[（y₁+2）（y₂+2）+16]=0，
∴（y₁-2）（y₂-2）=0或（y₁+2）（y₂+2）+16=0．
∴n=2m-1或n=2m+5，∵△＞0恒成立，∴n=2m+5．
∴直線PQ的方程為x-5=m（y+2），
∴直線PQ過定點（5，-2）．
（Ⅱ）解：假設存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ，由第（Ⅰ）問可知，將n用2m+5代換得直線PQ的方程為x=my+2m+5．設點P、Q的坐標分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線方程代入拋物線方程，消x得y²-4my-8m-20=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8m-20．
∴PQ的中點坐標為（2m²+2m+5，2m）．
由已知得

2m-2

2m2+2m+5-1

=-m，即m³+m²+3m-1=0．
設g（m）=m³+m²+3m-1，則g′（m）=3m²+2m+3＞0，
∴g（m）在R上是增函數．
又g（0）=-1＜0，g（1）=4＞0，∴g（m）在（0，1）內有一個零點．
∴函數g（m）在R上有且只有一個零點，即方程m³+m²+3m-1=0在R上有唯一實根．
所以滿足條件的等腰三角形有且只有一個．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．解決第一問的巧妙之處在于直線方程的設法．當直線的斜率不確定存在時，為避免討論，常設直線方程為x=my+n的形式．