Question

已知橢圓：（），其焦距為，若（），則稱橢圓為“黃金橢圓”．
（1）求證：在黃金橢圓：（）中，、、成等比數列．
（2）黃金橢圓：（）的右焦點為，為橢圓上的
任意一點．是否存在過點、的直線，使與軸的交點滿足？若存在，求直線的斜率；若不存在，請說明理由．
（3）在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓：（）的左、右焦點分別是、，以、、、為頂點的菱形的內切圓過焦點、．試寫出“黃金雙曲線”的定義；對于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關的真命題，并加以證明．

Answer 1

 （1）證明：由及，得
，故、、成等比數列．（3分）
（2）解：由題設，顯然直線垂直于軸時不合題意，設直線的方程為，
得，又，及，得點的坐標為，（5分）
因為點在橢圓上，所以，又，得，
，故存在滿足題意的直線，其斜率．（6分）
（3）黃金雙曲線的定義：已知雙曲線：，其焦距為，若（或寫成），則稱雙曲線為“黃金雙曲線”．（8分）
在黃金雙曲線中有真命題：已知黃金雙曲線：的左、右焦點分別是、，以、、、為頂點的菱形的內切圓過頂點、．（10分）
證明：直線的方程為，原點到該直線的距離為，
將代入，得，又將代入，化簡得，
故直線與圓相切，同理可證直線、、均與圓相切，即以、為直徑的圓為菱形的內切圓，命題得證．（13分）

略