Question

【題目】設{an}和{bn}是兩個等差數列,記cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs這s個數中最大的數.

(Ⅰ)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并證明{cn}是等差數列;

(Ⅱ)證明:或者對任意正數M,存在正整數m,當n≥m時, >M;或者存在正整數m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差數列.

Answer 1

【答案】 (Ⅰ) 見解析;(Ⅱ) 見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)讀懂新定義{cn}的含義,即可求得{cn}的通項公式;

(Ⅱ)結合新定義,通過對d1的分類討論,進而證明.

試題解析：

(Ⅰ)c1=b1-a1=1-1=0,

c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,

c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=.

當n≥3時,

(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<0,

所以bk-nak關于k∈N*單調遞減.

所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}=b1-a1n=1-n.

所以對任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1,

所以{cn}是等差數列.

(Ⅱ)設數列{an}和{bn}的公差分別為d1,d2,則

bk-nak=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n

=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).

所以cn=

①當d1>0時,

取正整數m>,則當n≥m時,nd1>d2,因此cn=b1-a1n.

此時,cm,cm+1,cm+2,…是等差數列.

②當d1=0時,對任意n≥1,

cn=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).

此時,c1,c2,c3,…,cn,…是等差數列.

③當d1<0時,

當n>時,有nd1<d2.

所以

=n(-d1)+d1-a1+d2+

≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.

對任意正數M,取正整數m>max{,},

故當n≥m時, >M.