Question

（2013•江西）如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=

2

，AA₁=3，E為CD上一點，DE=1，EC=3
（1）證明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求點B₁到平面EA₁C₁ 的距離．

Answer 1

分析：（1）過點B作BF⊥CD于F點，算出BF、EF、FC的長，從而在△BCE中算出BE、BC、CE的長，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，結合BE⊥BB₁利用線面垂直的判定定理，可證出BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）根據AA₁⊥平面A₁B₁C₁，算出三棱錐E-A₁B₁C₁的體積V=

2

．根據線面垂直的性質和勾股定理，算出A₁C₁=EC₁=3

2

、A₁E=2

3

，從而得到等腰△A₁EC₁的面積S_△ A1E C1=3

5

，設B₁到平面EA₁C₁ 的距離為d，可得三棱錐B₁-A₁C₁E的體積V=

1

3

×S_△ A1E C1×d=

5

d，從而得到

2

=

5

d，由此即可解出點B₁到平面EA₁C₁ 的距離．

解答：解：（1）過點B作BF⊥CD于F點，則
BF=AD=

2

，EF=AB=DE=1，FC=2
在Rt△BEF中，BE=

BF2+EF2

=

3

；在Rt△BCF中，BC=

BF2+CF2

=

6

因此，△BCE中可得BE²+BC²=9=CE²
∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴BE⊥BB₁，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C內的相交直線，∴BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，得AA₁是三棱錐E-A₁B₁C₁的高線
∴三棱錐E-A₁B₁C₁的體積V=

1

3

×AA₁×S_△ A1B1C1=

2

在Rt△A₁D₁C₁中，A₁C₁=

A1D12+D 1C12

=3

2

同理可得EC₁=

E C 2+C  C12

=3

2

，A₁E=

A1A2+AD2+DE2

=2

3

∴等腰△A₁EC₁的底邊EC₁上的中線等于

(3 2 )2-( 3 )2

=

15

，
可得S_△ A1E C1=

1

2

×2

3

×

15

=3

5

設點B₁到平面EA₁C₁ 的距離為d，則三棱錐B₁-A₁C₁E的體積為
V=

1

3

×S_△ A1E C1×d=

5

d，可得

2

=

5

d，解之得d=

10

5

即點B₁到平面EA₁C₁ 的距離為

10

5

．

點評：本題在直四棱柱中求證線面垂直，并求點到平面的距離．著重考查了線面垂直的判定與性質、勾股定理與其逆定理和利用等積轉換的方法求點到平面的距離等知識，屬于中檔題．