Question

【題目】定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x﹣2
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜2的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：f（﹣0）=﹣f（0）=f（0），f（0）=0；

當(dāng)x＜0時(shí)，則﹣x＞0，

因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x﹣2，

所以f（﹣x）=﹣x﹣2，

又因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f（﹣x）=﹣f（x），

所以f（x）=x+2，

所以f（x）的表達(dá)式為：f（x）=

（2）解：x＜0時(shí)，x+2＜2，∴x＜0；

x=0，符合題意；

x＞0時(shí)，x﹣2＜2，∴x＜4，∴0＜x＜4．

∴不等式的解集為（﹣∞，4）

【解析】（1）先根據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，得到f（0）=0，再設(shè)x＜0時(shí)，則﹣x＞0，結(jié)合題意得到f（﹣x）=﹣x﹣2，然后利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式．（2）利用（1）的結(jié)論，即可求不等式f（x）＜2的解集．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．