Question

【題目】已知定義在區(qū)間（﹣1，1）上的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)，且f（ ）= ，
（1）確定f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并用定義證明；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=b=0，

則f（x）= ，

∵f（ ）= ，

∴f（ ）= = ，解得a=1，

即f（x）=

（2）解：f（x）為增函數(shù)；

設(shè)﹣1＜x1＜x2＜1，

則f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵﹣1＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

即函數(shù)f（x）是增函數(shù)

（3）解：∵f（x）為奇函數(shù)，

∴不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

等價為f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），

則等價為 ，即 ，解得0＜t＜

即原不等式的解集為（0， ）

【解析】（1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可確定f（x）的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性并用定義證明；（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系即可解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．