Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線上有兩點(diǎn)滿足，且點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

討論直線的斜率是否存在：當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得直線的方程，根據(jù)及點(diǎn)O到直線距離即可求得的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合及點(diǎn)到直線距離即可求得離心率。

（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離為可知直線的方程為

所以線段

因?yàn)?/span>，根據(jù)等腰直角三角形及雙曲線對(duì)稱性可知，即

雙曲線中滿足

所以，化簡(jiǎn)可得同時(shí)除以 得

，解得

因?yàn)?/span>，所以

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為

，聯(lián)立方程可得

化簡(jiǎn)可得

設(shè)

則，

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為

則，化簡(jiǎn)可得

又因?yàn)?/span>

所以

化簡(jiǎn)得

即

所以，雙曲線中滿足

代入化簡(jiǎn)可得

求得，即

因?yàn)?/span>，所以

綜上所述，雙曲線的離心率為

所以選A