Question

已知n∈N^*，數(shù)列{d_n}滿足d_n＝，數(shù)列{a_n}滿足a_n＝d₁＋d₂＋d₃＋…＋d_2n.又知數(shù)列{b_n}中，b₁＝2，且對(duì)任意正整數(shù)m，n，.
(1)求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列{b_n}中的第a₁項(xiàng)，第a₂項(xiàng)，第a₃項(xiàng)，…，第a_n項(xiàng)刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的前2013項(xiàng)和T₂₀₁₃.

Answer 1

（1）a_n＝3n，b_n＝2ⁿ.（2）

(1)∵d_n＝，∴a_n＝d₁＋d₂＋d₃＋…＋d_2n＝＝3n.
又由題知，令m＝1時(shí)，則b₂＝＝2²，b₃＝＝2³，…，b_n＝＝2ⁿ，
若b_n＝2ⁿ，則＝2^nm，＝2^mn，所以＝恒成立；
若b_n≠2ⁿ，當(dāng)m＝1時(shí)，＝不成立，所以b_n＝2ⁿ.
(2)由題知將數(shù)列{b_n}中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)…刪去后構(gòu)成的新數(shù)列{c_n}中的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)仍成等比數(shù)列，首項(xiàng)分別是b₁＝2，b₂＝4，公比均是8，
T₂₀₁₃＝(c₁＋c₃＋c₅＋…＋c₂₀₁₃)＋(c₂＋c₄＋c₆＋…＋c₂₀₁₂)
＝