Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過右焦點作直線交橢圓于，兩點，的周長為，點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線、的斜率，，請問是否為定值？若是定值，求出其定值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值,且為

【解析】

（1）由的周長為，得到，即.再由離心率求得，從而可得，得橢圓方程．

（2）直線l斜率不存在時，，直線與軸不垂直時，設直線的方程為，，，由直線方程與橢圓方程聯立消元，可得，計算，并代入可得．這樣就得出結論．

（1）由的周長為，得到，即.

又因為，所以，

故，

所以橢圓的方程為.

（2）當直線與軸不垂直時，

設直線的方程為，，，

把直線的方程代入，得，

則，，

因為，

而.

即．

當直線與軸垂直時，，即，

所以，即是定值.